求解 frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } }$$

求值

$$4\sqrt{3}+7\approx 13.92820323$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 2+\sqrt{3}，使 \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

请考虑 \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

对 2 进行平方运算。 对 \sqrt{3} 进行平方运算。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

将 4 减去 3，得到 1。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}$$

任何数除以一都等于其本身。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$$

将 2+\sqrt{3} 与 2+\sqrt{3} 相乘，得到 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3$$

4 与 3 相加，得到 7。

$$7+4\sqrt{3}$$