求解 frac{2+sqrt{2}}{3+sqrt{2}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 3 + \sqrt { 2 } }$$

求值

$$\frac{\sqrt{2}+4}{7}\approx 0.77345908$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 3-\sqrt{2}，使 \frac{2+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} 的分母有理化

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}$$

请考虑 \left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

对 3 进行平方运算。 对 \sqrt{2} 进行平方运算。

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{9-2}$$

将 9 减去 2，得到 7。

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{7}$$

应用分配律，将 2+\sqrt{2} 的每一项和 3-\sqrt{2} 的每一项分别相乘。

$$\frac{6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

合并 -2\sqrt{2} 和 3\sqrt{2}，得到 \sqrt{2}。

$$\frac{6+\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{6+\sqrt{2}-2}{7}$$

将 6 减去 2，得到 4。

$$\frac{4+\sqrt{2}}{7}$$

因式分解

$$\frac{\sqrt{2} + 4}{7} = 0.7734590803390136$$