求解 15/p+6p-5/p+2=1

$$\frac { 15 } { p } + \frac { 6 p - 5 } { p + 2 } = 1$$

求解 p 的值

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}\approx -0.8+2.315167381i$$

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}\approx -0.8-2.315167381i$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 p 不能等于任意以下值: -2,0。 将公式两边同时乘以 p\left(p+2\right) 的最小公倍数 p,p+2。

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

使用分配律将 p+2 乘以 15。

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

使用分配律将 p 乘以 6p-5。

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

合并 15p 和 -5p，得到 10p。

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

使用分配律将 p 乘以 p+2。

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

将方程式两边同时减去 p^{2}。

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

合并 6p^{2} 和 -p^{2}，得到 5p^{2}。

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

将方程式两边同时减去 2p。

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

合并 10p 和 -2p，得到 8p。

$$8p+30+5p^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5p^{2}+8p+30=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，8 替换 b，并用 30 替换 c。

$$p=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

对 8 进行平方运算。

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 30}}{2\times 5}$$

求 -20 与 30 的乘积。

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-600}}{2\times 5}$$

将 -600 加上 64。

$$p=\frac{-8±\sqrt{-536}}{2\times 5}$$

取 -536 的平方根。

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} 的解。 将 2i\sqrt{134} 加上 -8。

$$p=\frac{-8+2\sqrt{134}i}{10}$$

-8+2i\sqrt{134} 除以 10。

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} 的解。 将 -8 减去 2i\sqrt{134}。

$$p=\frac{-2\sqrt{134}i-8}{10}$$

-8-2i\sqrt{134} 除以 10。

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 p 不能等于任意以下值: -2,0。 将公式两边同时乘以 p\left(p+2\right) 的最小公倍数 p,p+2。

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

使用分配律将 p+2 乘以 15。

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

使用分配律将 p 乘以 6p-5。

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

合并 15p 和 -5p，得到 10p。

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

使用分配律将 p 乘以 p+2。

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

将方程式两边同时减去 p^{2}。

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

合并 6p^{2} 和 -p^{2}，得到 5p^{2}。

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

将方程式两边同时减去 2p。

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

合并 10p 和 -2p，得到 8p。

$$8p+30+5p^{2}=0$$

将方程式两边同时减去 30。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$8p+5p^{2}=-30$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5p^{2}+8p=-30$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5p^{2}+8p}{5}=-\frac{30}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-\frac{30}{5}$$

-30 除以 5。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-6$$

将 x 项的系数 \frac{8}{5} 除以 2 得 \frac{4}{5}。然后在等式两边同时加上 \frac{4}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-6+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

对 \frac{4}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-6+\frac{16}{25}$$

将 \frac{16}{25} 加上 -6。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-\frac{134}{25}$$

对 p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{134}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{134}{25}}$$

化简。

$$p+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{134}i}{5} p+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{134}i}{5}$$

将等式的两边同时减去 \frac{4}{5}。

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$