求解 10/(x+3)(x-7)-8/(x+3)(x-5)=x+10/(x-5)(x-7)

$$\frac { 10 } { ( x + 3 ) ( x - 7 ) } - \frac { 8 } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) } = \frac { x + 10 } { ( x - 5 ) ( x - 7 ) }$$

求解 x 的值

$$x=-8$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -3,5,7。 将公式两边同时乘以 \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right) 的最小公倍数 \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right)。

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

使用分配律将 x-5 乘以 10。

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

使用分配律将 x-7 乘以 8。

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

要查找 8x-56 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

合并 10x 和 -8x，得到 2x。

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

-50 与 56 相加，得到 6。

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

使用分配律将 x+3 乘以 x+10，并组合同类项。

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

将方程式两边同时减去 13x。

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

合并 2x 和 -13x，得到 -11x。

$$-11x+6-x^{2}=30$$

将方程式两边同时减去 30。

$$-11x+6-x^{2}-30=0$$

将 6 减去 30，得到 -24。

$$-11x-24-x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}-11x-24=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，-11 替换 b，并用 -24 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

对 -11 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 -24 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\left(-1\right)}$$

将 -96 加上 121。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

取 25 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

-11 的相反数是 11。

$$x=\frac{11±5}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{11±5}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{11±5}{-2} 的解。 将 5 加上 11。

$$x=\frac{16}{-2}$$

16 除以 -2。

$$x=-8$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{11±5}{-2} 的解。 将 11 减去 5。

$$x=\frac{6}{-2}$$

6 除以 -2。

$$x=-3$$

现已求得方程式的解。

$$x=-8 x=-3$$

变量 x 不能等于 -3。

$$x=-8$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -3,5,7。 将公式两边同时乘以 \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right) 的最小公倍数 \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right)。

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

使用分配律将 x-5 乘以 10。

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

使用分配律将 x-7 乘以 8。

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

要查找 8x-56 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

合并 10x 和 -8x，得到 2x。

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

-50 与 56 相加，得到 6。

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

使用分配律将 x+3 乘以 x+10，并组合同类项。

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

将方程式两边同时减去 13x。

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

合并 2x 和 -13x，得到 -11x。

$$-11x+6-x^{2}=30$$

将方程式两边同时减去 6。

$$-11x-x^{2}=30-6$$

将 30 减去 6，得到 24。

$$-11x-x^{2}=24$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-x^{2}-11x=24$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}-11x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{11}{-1}\right)x=\frac{24}{-1}$$

-11 除以 -1。

$$x^{2}+11x=\frac{24}{-1}$$

24 除以 -1。

$$x^{2}+11x=-24$$

将 x 项的系数 11 除以 2 得 \frac{11}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{11}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{11}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

将 \frac{121}{4} 加上 -24。

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

因数 x^{2}+11x+\frac{121}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{11}{2}。

$$x=-3 x=-8$$

变量 x 不能等于 -3。

$$x=-8$$