求解 frac{1-4sqrt{5}-3}{3-sqrt{5}-sqrt{5}+2}=

$$\frac { 1 - 4 \sqrt { 5 } - 3 } { 3 - \sqrt { 5 } - \sqrt { 5 } + 2 } =$$

求值

$$-\frac{24\sqrt{5}}{5}-10\approx -20.733126292$$

求解步骤

将 1 减去 3，得到 -2。

$$\frac{-2-4\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}-\sqrt{5}+2}$$

合并 -\sqrt{5} 和 -\sqrt{5}，得到 -2\sqrt{5}。

$$\frac{-2-4\sqrt{5}}{3-2\sqrt{5}+2}$$

3 与 2 相加，得到 5。

$$\frac{-2-4\sqrt{5}}{5-2\sqrt{5}}$$

通过将分子和分母乘以 5+2\sqrt{5}，使 \frac{-2-4\sqrt{5}}{5-2\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{\left(-2-4\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}{\left(5-2\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}$$

请考虑 \left(5-2\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(-2-4\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}{5^{2}-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

计算 2 的 5 乘方，得到 25。

$$\frac{\left(-2-4\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}{25-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

展开 \left(-2\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{\left(-2-4\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}{25-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

计算 2 的 -2 乘方，得到 4。

$$\frac{\left(-2-4\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}{25-4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{\left(-2-4\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}{25-4\times 5}$$

将 4 与 5 相乘，得到 20。

$$\frac{\left(-2-4\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}{25-20}$$

将 25 减去 20，得到 5。

$$\frac{\left(-2-4\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}{5}$$

应用分配律，将 -2-4\sqrt{5} 的每一项和 5+2\sqrt{5} 的每一项分别相乘。

$$\frac{-10-4\sqrt{5}-20\sqrt{5}-8\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{5}$$

合并 -4\sqrt{5} 和 -20\sqrt{5}，得到 -24\sqrt{5}。

$$\frac{-10-24\sqrt{5}-8\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{5}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{-10-24\sqrt{5}-8\times 5}{5}$$

将 -8 与 5 相乘，得到 -40。

$$\frac{-10-24\sqrt{5}-40}{5}$$

将 -10 减去 40，得到 -50。

$$\frac{-50-24\sqrt{5}}{5}$$