求解 1/x-1-x/x+1-2=0

$$\frac { 1 } { x - 1 } - \frac { x } { x + 1 } - 2 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{10} + 1}{3} \approx 1.387425887$$

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\approx -0.72075922$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -1,1。 将公式两边同时乘以 \left(x-1\right)\left(x+1\right) 的最小公倍数 x-1,x+1。

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

使用分配律将 x-1 乘以 x。

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

要查找 x^{2}-x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

合并 x 和 x，得到 2x。

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

使用分配律将 x-1 乘以 x+1，并组合同类项。

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

使用分配律将 x^{2}-1 乘以 -2。

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

合并 -x^{2} 和 -2x^{2}，得到 -3x^{2}。

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

1 与 2 相加，得到 3。

$$2x+3-3x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-3x^{2}+2x+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -3 替换 a，2 替换 b，并用 3 替换 c。

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

对 2 进行平方运算。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

求 -4 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

求 12 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\left(-3\right)}$$

将 36 加上 4。

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

取 40 的平方根。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

求 2 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} 的解。 将 2\sqrt{10} 加上 -2。

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{-6}$$

-2+2\sqrt{10} 除以 -6。

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} 的解。 将 -2 减去 2\sqrt{10}。

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{-6}$$

-2-2\sqrt{10} 除以 -6。

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -1,1。 将公式两边同时乘以 \left(x-1\right)\left(x+1\right) 的最小公倍数 x-1,x+1。

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

使用分配律将 x-1 乘以 x。

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

要查找 x^{2}-x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

合并 x 和 x，得到 2x。

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

使用分配律将 x-1 乘以 x+1，并组合同类项。

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

使用分配律将 x^{2}-1 乘以 -2。

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

合并 -x^{2} 和 -2x^{2}，得到 -3x^{2}。

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

1 与 2 相加，得到 3。

$$2x+3-3x^{2}=0$$

将方程式两边同时减去 3。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$2x-3x^{2}=-3$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-3x^{2}+2x=-3$$

两边同时除以 -3。

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{3}{-3}$$

除以 -3 是乘以 -3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{3}{-3}$$

2 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{-3}$$

-3 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$$

将 x 项的系数 -\frac{2}{3} 除以 2 得 -\frac{1}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

将 \frac{1}{9} 加上 1。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$