求解 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

求解 x 的值

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: 1,4。 将公式两边同时乘以 4\left(x-4\right)\left(x-1\right) 的最小公倍数 x-1,x-4,4。

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

合并 4x 和 4x，得到 8x。

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

将 -16 减去 4，得到 -20。

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

使用分配律将 5 乘以 x-4。

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

使用分配律将 5x-20 乘以 x-1，并组合同类项。

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

将方程式两边同时减去 5x^{2}。

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

将 25x 添加到两侧。

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

合并 8x 和 25x，得到 33x。

$$33x-20-5x^{2}=20$$

将方程式两边同时减去 20。

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

将 -20 减去 20，得到 -40。

$$33x-40-5x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -5 替换 a，33 替换 b，并用 -40 替换 c。

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

对 33 进行平方运算。

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

求 -4 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

求 20 与 -40 的乘积。

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

将 -800 加上 1089。

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

取 289 的平方根。

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

求 2 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-33±17}{-10} 的解。 将 17 加上 -33。

$$x=-\frac{16}{-10}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-16}{-10} 降低为最简分数。

$$x=\frac{8}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-33±17}{-10} 的解。 将 -33 减去 17。

$$x=-\frac{50}{-10}$$

-50 除以 -10。

$$x=5$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: 1,4。 将公式两边同时乘以 4\left(x-4\right)\left(x-1\right) 的最小公倍数 x-1,x-4,4。

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

合并 4x 和 4x，得到 8x。

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

将 -16 减去 4，得到 -20。

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

使用分配律将 5 乘以 x-4。

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

使用分配律将 5x-20 乘以 x-1，并组合同类项。

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

将方程式两边同时减去 5x^{2}。

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

将 25x 添加到两侧。

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

合并 8x 和 25x，得到 33x。

$$33x-20-5x^{2}=20$$

将 20 添加到两侧。

$$33x-5x^{2}=20+20$$

20 与 20 相加，得到 40。

$$33x-5x^{2}=40$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-5x^{2}+33x=40$$

两边同时除以 -5。

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

除以 -5 是乘以 -5 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

33 除以 -5。

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

40 除以 -5。

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

将 x 项的系数 -\frac{33}{5} 除以 2 得 -\frac{33}{10}。然后在等式两边同时加上 -\frac{33}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

对 -\frac{33}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

将 \frac{1089}{100} 加上 -8。

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

因数 x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

化简。

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

在等式两边同时加 \frac{33}{10}。

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$