求解 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

求解 x 的值

$$x=-1$$

求解步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -8,-5,-2,1。 将公式两边同时乘以 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right) 的最小公倍数 x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21。

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

使用分配律将 21 乘以 x+5。

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

使用分配律将 21x+105 乘以 x+8，并组合同类项。

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

使用分配律将 21 乘以 x-1。

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

使用分配律将 21x-21 乘以 x+8，并组合同类项。

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

合并 21x^{2} 和 21x^{2}，得到 42x^{2}。

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

合并 273x 和 147x，得到 420x。

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

将 840 减去 168，得到 672。

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

使用分配律将 21 乘以 x+2。

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

使用分配律将 21x+42 乘以 x-1，并组合同类项。

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

合并 42x^{2} 和 21x^{2}，得到 63x^{2}。

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

合并 420x 和 21x，得到 441x。

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

将 672 减去 42，得到 630。

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

使用分配律将 7 乘以 x+2。

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

使用分配律将 7x+14 乘以 x+5，并组合同类项。

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

使用分配律将 7x^{2}+49x+70 乘以 x+8，并组合同类项。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

将 21 与 -\frac{1}{21} 相乘，得到 -1。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

使用分配律将 -1 乘以 x-1。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

使用分配律将 -x+1 乘以 x+2，并组合同类项。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

使用分配律将 -x^{2}-x+2 乘以 x+5，并组合同类项。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

使用分配律将 -x^{3}-6x^{2}-3x+10 乘以 x+8，并组合同类项。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

合并 7x^{3} 和 -14x^{3}，得到 -7x^{3}。

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

合并 105x^{2} 和 -51x^{2}，得到 54x^{2}。

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

合并 462x 和 -14x，得到 448x。

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

560 与 80 相加，得到 640。

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

将 7x^{3} 添加到两侧。

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

将方程式两边同时减去 54x^{2}。

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

合并 63x^{2} 和 -54x^{2}，得到 9x^{2}。

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

将方程式两边同时减去 448x。

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

合并 441x 和 -448x，得到 -7x。

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

将方程式两边同时减去 640。

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

将 630 减去 640，得到 -10。

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

将 x^{4} 添加到两侧。

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

整理方程式，将其化为标准形式。按幂从高到低的顺序排列各项。

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -10，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±10,±5,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 除以 x-1 得 x^{3}+8x^{2}+17x+10。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 10，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±10,±5,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{3}+8x^{2}+17x+10 除以 x+1 得 x^{2}+7x+10。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{2}+7x+10=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 7 替换 b、用 10 替换 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x^{2}+7x+10=0 的解。

$$x=-5 x=-2$$

删除不能与变量相等的值。

$$x=-1$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

变量 x 不能等于任意以下值: 1,-5,-2。

$$x=-1$$