求解 1/x+1+x+3/(x-2)(x+1)=7x/(x+1)(x-2)-x/(x+1)

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 3 } { ( x - 2 ) ( x + 1 ) } = \frac { 7 x } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) } - \frac { x } { ( x + 1 ) }$$

求解 x 的值

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6.854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0.145898034$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -1,2。 将公式两边同时乘以 \left(x-2\right)\left(x+1\right) 的最小公倍数 x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right)。

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

合并 x 和 x，得到 2x。

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

-2 与 3 相加，得到 1。

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

使用分配律将 x-2 乘以 x。

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

要查找 x^{2}-2x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

合并 7x 和 2x，得到 9x。

$$2x+1=9x-x^{2}$$

将方程式两边同时减去 9x。

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

合并 2x 和 -9x，得到 -7x。

$$-7x+1=-x^{2}$$

将 x^{2} 添加到两侧。

$$-7x+1+x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-7x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-7 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4}}{2}$$

对 -7 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4}}{2}$$

将 -4 加上 49。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{45}}{2}$$

取 45 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

-7 的相反数是 7。

$$x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} 的解。 将 3\sqrt{5} 加上 7。

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} 的解。 将 7 减去 3\sqrt{5}。

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -1,2。 将公式两边同时乘以 \left(x-2\right)\left(x+1\right) 的最小公倍数 x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right)。

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

合并 x 和 x，得到 2x。

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

-2 与 3 相加，得到 1。

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

使用分配律将 x-2 乘以 x。

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

要查找 x^{2}-2x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

合并 7x 和 2x，得到 9x。

$$2x+1=9x-x^{2}$$

将方程式两边同时减去 9x。

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

合并 2x 和 -9x，得到 -7x。

$$-7x+1=-x^{2}$$

将 x^{2} 添加到两侧。

$$-7x+1+x^{2}=0$$

将方程式两边同时减去 1。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$-7x+x^{2}=-1$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-7x=-1$$

将 x 项的系数 -7 除以 2 得 -\frac{7}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

将 \frac{49}{4} 加上 -1。

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

对 x^{2}-7x+\frac{49}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{2}。

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$