求解 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

$$x=2$$

通过分组进行因式分解的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -2,\frac{1}{3}。 将公式两边同时乘以 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2} 的最小公倍数 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1。

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

使用分配律将 3x-1 乘以 16。

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

合并 5x 和 48x，得到 53x。

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

将 10 减去 16，得到 -6。

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

使用分配律将 5 乘以 x+2。

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

使用分配律将 5x+10 乘以 3x-1，并组合同类项。

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

将方程式两边同时减去 15x^{2}。

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

将方程式两边同时减去 25x。

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

合并 53x 和 -25x，得到 28x。

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

将 10 添加到两侧。

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

-6 与 10 相加，得到 4。

$$28x+4-15x^{2}=0$$

重新排列多项式，将其变为标准形式。按从最高次幂到最低次幂的顺序放置项。

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 -15x^{2}+ax+bx+4。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -60 的所有此类整数对。

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

计算每对之和。

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

该解答是总和为 28 的对。

$$a=30 b=-2$$

将 -15x^{2}+28x+4 改写为 \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)。

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

将 15x 放在第二个组中的第一个和 2 中。

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 -x+2。

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

若要找到方程解，请解 -x+2=0 和 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -2,\frac{1}{3}。 将公式两边同时乘以 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2} 的最小公倍数 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1。

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

使用分配律将 3x-1 乘以 16。

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

合并 5x 和 48x，得到 53x。

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

将 10 减去 16，得到 -6。

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

使用分配律将 5 乘以 x+2。

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

使用分配律将 5x+10 乘以 3x-1，并组合同类项。

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

将方程式两边同时减去 15x^{2}。

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

将方程式两边同时减去 25x。

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

合并 53x 和 -25x，得到 28x。

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

将 10 添加到两侧。

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

-6 与 10 相加，得到 4。

$$28x+4-15x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -15 替换 a，28 替换 b，并用 4 替换 c。

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

对 28 进行平方运算。

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

求 -4 与 -15 的乘积。

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

求 60 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

将 240 加上 784。

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

取 1024 的平方根。

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

求 2 与 -15 的乘积。

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-28±32}{-30} 的解。 将 32 加上 -28。

$$x=\frac{4}{-30}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{4}{-30} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{2}{15}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-28±32}{-30} 的解。 将 -28 减去 32。

$$x=-\frac{60}{-30}$$

-60 除以 -30。

$$x=2$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -2,\frac{1}{3}。 将公式两边同时乘以 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2} 的最小公倍数 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1。

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

使用分配律将 3x-1 乘以 16。

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

合并 5x 和 48x，得到 53x。

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

将 10 减去 16，得到 -6。

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

使用分配律将 5 乘以 x+2。

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

使用分配律将 5x+10 乘以 3x-1，并组合同类项。

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

将方程式两边同时减去 15x^{2}。

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

将方程式两边同时减去 25x。

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

合并 53x 和 -25x，得到 28x。

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

将 6 添加到两侧。

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

-10 与 6 相加，得到 -4。

$$28x-15x^{2}=-4$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-15x^{2}+28x=-4$$

两边同时除以 -15。

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

除以 -15 是乘以 -15 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

28 除以 -15。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

-4 除以 -15。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

将 x 项的系数 -\frac{28}{15} 除以 2 得 -\frac{14}{15}。然后在等式两边同时加上 -\frac{14}{15} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

对 -\frac{14}{15} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

将 \frac{196}{225} 加上 \frac{4}{15}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

因数 x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

化简。

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

在等式两边同时加 \frac{14}{15}。

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$