求解 1/5sqrt{3-3sqrt{5}}

$$\frac { 1 } { 5 \sqrt { 3 } - 3 \sqrt { 5 } }$$

求值

$$\frac{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}{30}\approx 0.512281932$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 5\sqrt{3}+3\sqrt{5}，使 \frac{1}{5\sqrt{3}-3\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right)}$$

请考虑 \left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

展开 \left(5\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

计算 2 的 5 乘方，得到 25。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{25\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{25\times 3-\left(-3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

将 25 与 3 相乘，得到 75。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{75-\left(-3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

展开 \left(-3\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{75-\left(-3\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

计算 2 的 -3 乘方，得到 9。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{75-9\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{75-9\times 5}$$

将 9 与 5 相乘，得到 45。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{75-45}$$

将 75 减去 45，得到 30。

$$\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{30}$$

因式分解

$$\frac{\sqrt{3} \sqrt{5} {(\sqrt{3} + \sqrt{5})}}{30} = 0.5122819323447919$$