求解 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0.907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3.307130751$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

将等式的两边同时减去 1。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

1 减去它自己得 0。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 \frac{1}{3} 替换 a，\frac{4}{5} 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

对 \frac{4}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

求 -4 与 \frac{1}{3} 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

求 -\frac{4}{3} 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

将 \frac{4}{3} 加上 \frac{16}{25}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

取 \frac{148}{75} 的平方根。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

求 2 与 \frac{1}{3} 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} 的解。 将 \frac{2\sqrt{111}}{15} 加上 -\frac{4}{5}。

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

-\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} 除以 \frac{2}{3} 的计算方法是用 -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} 乘以 \frac{2}{3} 的倒数。

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} 的解。 将 -\frac{4}{5} 减去 \frac{2\sqrt{111}}{15}。

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

-\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} 除以 \frac{2}{3} 的计算方法是用 -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} 乘以 \frac{2}{3} 的倒数。

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

将两边同时乘以 3。

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

除以 \frac{1}{3} 是乘以 \frac{1}{3} 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

\frac{4}{5} 除以 \frac{1}{3} 的计算方法是用 \frac{4}{5} 乘以 \frac{1}{3} 的倒数。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

1 除以 \frac{1}{3} 的计算方法是用 1 乘以 \frac{1}{3} 的倒数。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

将 x 项的系数 \frac{12}{5} 除以 2 得 \frac{6}{5}。然后在等式两边同时加上 \frac{6}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

对 \frac{6}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

将 \frac{36}{25} 加上 3。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

因数 x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

化简。

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

将等式的两边同时减去 \frac{6}{5}。

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$