求解 1/(x-3)=2x+1/x^2-4

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4.791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0.208712153$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -2,2,3。 将公式两边同时乘以 \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right) 的最小公倍数 x-3,x^{2}-4。

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 x-3 乘以 2x+1，并组合同类项。

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

将方程式两边同时减去 2x^{2}。

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

合并 x^{2} 和 -2x^{2}，得到 -x^{2}。

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

将 5x 添加到两侧。

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

将 3 添加到两侧。

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

-4 与 3 相加，得到 -1。

$$-x^{2}-1+5x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+5x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，5 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

将 -4 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} 的解。 将 \sqrt{21} 加上 -5。

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

-5+\sqrt{21} 除以 -2。

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} 的解。 将 -5 减去 \sqrt{21}。

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

-5-\sqrt{21} 除以 -2。

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -2,2,3。 将公式两边同时乘以 \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right) 的最小公倍数 x-3,x^{2}-4。

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 x-3 乘以 2x+1，并组合同类项。

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

将方程式两边同时减去 2x^{2}。

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

合并 x^{2} 和 -2x^{2}，得到 -x^{2}。

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

将 5x 添加到两侧。

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

将 4 添加到两侧。

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

-3 与 4 相加，得到 1。

$$-x^{2}+5x=1$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

5 除以 -1。

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

1 除以 -1。

$$x^{2}-5x=-1$$

将 x 项的系数 -5 除以 2 得 -\frac{5}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

将 \frac{25}{4} 加上 -1。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

对 x^{2}-5x+\frac{25}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$