求解 -f/10f+42=1/f+3

$$\frac { - f } { 10 f + 42 } = \frac { 1 } { f + 3 }$$

求解 f 的值

$$f=-7$$

$$f=-6$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 f 不能等于任意以下值: -\frac{21}{5},-3。 将公式两边同时乘以 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right) 的最小公倍数 10f+42,f+3。

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

使用分配律将 f+3 乘以 -f。

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

将方程式两边同时减去 10f。

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

将方程式两边同时减去 42。

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f-42=0$$

将 f 与 f 相乘，得到 f^{2}。

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f-42=0$$

将 3 与 -1 相乘，得到 -3。

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f-42=0$$

合并 -3f 和 -10f，得到 -13f。

$$f^{2}\left(-1\right)-13f-42=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-f^{2}-13f-42=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，-13 替换 b，并用 -42 替换 c。

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

对 -13 进行平方运算。

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+4\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 -42 的乘积。

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\left(-1\right)}$$

将 -168 加上 169。

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

取 1 的平方根。

$$f=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

-13 的相反数是 13。

$$f=\frac{13±1}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$f=\frac{13±1}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 f=\frac{13±1}{-2} 的解。 将 1 加上 13。

$$f=\frac{14}{-2}$$

14 除以 -2。

$$f=-7$$

现在 ± 为减号时求公式 f=\frac{13±1}{-2} 的解。 将 13 减去 1。

$$f=\frac{12}{-2}$$

12 除以 -2。

$$f=-6$$

现已求得方程式的解。

$$f=-7 f=-6$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 f 不能等于任意以下值: -\frac{21}{5},-3。 将公式两边同时乘以 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right) 的最小公倍数 10f+42,f+3。

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

使用分配律将 f+3 乘以 -f。

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

将方程式两边同时减去 10f。

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

将 f 与 f 相乘，得到 f^{2}。

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f=42$$

将 3 与 -1 相乘，得到 -3。

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f=42$$

合并 -3f 和 -10f，得到 -13f。

$$f^{2}\left(-1\right)-13f=42$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-f^{2}-13f=42$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-f^{2}-13f}{-1}=\frac{42}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$f^{2}+\left(-\frac{13}{-1}\right)f=\frac{42}{-1}$$

-13 除以 -1。

$$f^{2}+13f=\frac{42}{-1}$$

42 除以 -1。

$$f^{2}+13f=-42$$

将 x 项的系数 13 除以 2 得 \frac{13}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{13}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$f^{2}+13f+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{13}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

将 \frac{169}{4} 加上 -42。

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

因数 f^{2}+13f+\frac{169}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

化简。

$$f+\frac{13}{2}=\frac{1}{2} f+\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{13}{2}。

$$f=-6 f=-7$$