求解 (x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3.862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2.362474899$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -\frac{1}{2},\frac{1}{2}。 将公式两边同时乘以 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) 的最小公倍数 1-4x^{2},4。

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 -4 乘以 x+3。

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 -4x-12 乘以 6-x，并组合同类项。

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 -1 乘以 2x-1。

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 -2x+1 乘以 2x+1，并组合同类项。

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

将 4x^{2} 添加到两侧。

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

合并 4x^{2} 和 4x^{2}，得到 8x^{2}。

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

将方程式两边同时减去 1。

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

将 -72 减去 1，得到 -73。

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$8x^{2}-12x-73=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 8 替换 a，-12 替换 b，并用 -73 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

对 -12 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

求 -4 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

求 -32 与 -73 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

将 2336 加上 144。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

取 2480 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

-12 的相反数是 12。

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

求 2 与 8 的乘积。

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} 的解。 将 4\sqrt{155} 加上 12。

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

12+4\sqrt{155} 除以 16。

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} 的解。 将 12 减去 4\sqrt{155}。

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

12-4\sqrt{155} 除以 16。

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -\frac{1}{2},\frac{1}{2}。 将公式两边同时乘以 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) 的最小公倍数 1-4x^{2},4。

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 -4 乘以 x+3。

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 -4x-12 乘以 6-x，并组合同类项。

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 -1 乘以 2x-1。

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

使用分配律将 -2x+1 乘以 2x+1，并组合同类项。

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

将 4x^{2} 添加到两侧。

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

合并 4x^{2} 和 4x^{2}，得到 8x^{2}。

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

将 72 添加到两侧。

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

1 与 72 相加，得到 73。

$$-12x+8x^{2}=73$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$8x^{2}-12x=73$$

两边同时除以 8。

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

除以 8 是乘以 8 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-12}{8} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

将 x 项的系数 -\frac{3}{2} 除以 2 得 -\frac{3}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

将 \frac{9}{16} 加上 \frac{73}{8}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

对 x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$