求解 frac{sqrt{3}-3}{sqrt{3}+3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 3 } { \sqrt { 3 } + 3 }$$

求值

$$\sqrt{3}-2\approx -0.267949192$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{3}-3，使 \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3} 的分母有理化

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}{\left(\sqrt{3}+3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}$$

请考虑 \left(\sqrt{3}+3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-3^{2}}$$

对 \sqrt{3} 进行平方运算。 对 3 进行平方运算。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}{3-9}$$

将 3 减去 9，得到 -6。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}{-6}$$

将 \sqrt{3}-3 与 \sqrt{3}-3 相乘，得到 \left(\sqrt{3}-3\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)^{2}}{-6}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{3}-3\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-6\sqrt{3}+9}{-6}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{3-6\sqrt{3}+9}{-6}$$

3 与 9 相加，得到 12。

$$\frac{12-6\sqrt{3}}{-6}$$

12-6\sqrt{3} 的每项除以 -6 得 -2+\sqrt{3}。

$$-2+\sqrt{3}$$