求解 frac{sqrt{3}-sqrt{7}}{sqrt{3}+sqrt{7}}

$$\frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 7 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 7 } }$$

求值

$$\frac{\sqrt{21}-5}{2}\approx -0.208712153$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{3}-\sqrt{7}，使 \frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} 的分母有理化

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}$$

请考虑 \left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

对 \sqrt{3} 进行平方运算。 对 \sqrt{7} 进行平方运算。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{3-7}$$

将 3 减去 7，得到 -4。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{-4}$$

将 \sqrt{3}-\sqrt{7} 与 \sqrt{3}-\sqrt{7} 相乘，得到 \left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{3-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

若要将 \sqrt{3} 和 \sqrt{7} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$\frac{3-2\sqrt{21}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

\sqrt{7} 的平方是 7。

$$\frac{3-2\sqrt{21}+7}{-4}$$

3 与 7 相加，得到 10。

$$\frac{10-2\sqrt{21}}{-4}$$