求解 frac{1/sqrt{2}-1/sqrt{3}}{1-1/sqrt{6}}

$$\frac { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } { 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } }$$

求值

$$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5}\approx 0.219275263$$

简短求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}，使 \frac{1}{\sqrt{2}} 的分母有理化

$$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{6}}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{6}}}$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{3}，使 \frac{1}{\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{6}}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{1}{\sqrt{6}}}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 2 和 3 的最小公倍数是 6。 求 \frac{\sqrt{2}}{2} 与 \frac{3}{3} 的乘积。 求 \frac{\sqrt{3}}{3} 与 \frac{2}{2} 的乘积。

$$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{6}-\frac{2\sqrt{3}}{6}}{1-\frac{1}{\sqrt{6}}}$$

由于 \frac{3\sqrt{2}}{6} 和 \frac{2\sqrt{3}}{6} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}}{1-\frac{1}{\sqrt{6}}}$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{6}，使 \frac{1}{\sqrt{6}} 的分母有理化

$$\frac{\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}}{1-\frac{\sqrt{6}}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}}}$$

\sqrt{6} 的平方是 6。

$$\frac{\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}}{1-\frac{\sqrt{6}}{6}}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 求 1 与 \frac{6}{6} 的乘积。

$$\frac{\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}}{\frac{6}{6}-\frac{\sqrt{6}}{6}}$$

由于 \frac{6}{6} 和 \frac{\sqrt{6}}{6} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}}{\frac{6-\sqrt{6}}{6}}$$

\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6} 除以 \frac{6-\sqrt{6}}{6} 的计算方法是用 \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6} 乘以 \frac{6-\sqrt{6}}{6} 的倒数。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\times 6}{6\left(6-\sqrt{6}\right)}$$

消去分子和分母中的 6。

$$\frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{-\sqrt{6}+6}$$

通过将分子和分母乘以 -\sqrt{6}-6，使 \frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{-\sqrt{6}+6} 的分母有理化

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)}{\left(-\sqrt{6}+6\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)}$$

请考虑 \left(-\sqrt{6}+6\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)}{\left(-\sqrt{6}\right)^{2}-6^{2}}$$

展开 \left(-\sqrt{6}\right)^{2}。

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)}{\left(-1\right)^{2}\left(\sqrt{6}\right)^{2}-6^{2}}$$

计算 2 的 -1 乘方，得到 1。

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)}{1\left(\sqrt{6}\right)^{2}-6^{2}}$$

\sqrt{6} 的平方是 6。

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)}{1\times 6-6^{2}}$$

将 1 与 6 相乘，得到 6。

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)}{6-6^{2}}$$

计算 2 的 6 乘方，得到 36。

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)}{6-36}$$

将 6 减去 36，得到 -30。

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{6}-6\right)}{-30}$$

应用分配律，将 -2\sqrt{3}+3\sqrt{2} 的每一项和 -\sqrt{6}-6 的每一项分别相乘。

$$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{6}+12\sqrt{3}-3\sqrt{2}\sqrt{6}-18\sqrt{2}}{-30}$$

因式分解 6=3\times 2。 将乘积 \sqrt{3\times 2} 的平方根重写为平方根 \sqrt{3}\sqrt{2} 的乘积。

$$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{2}+12\sqrt{3}-3\sqrt{2}\sqrt{6}-18\sqrt{2}}{-30}$$

将 \sqrt{3} 与 \sqrt{3} 相乘，得到 3。

$$\frac{2\times 3\sqrt{2}+12\sqrt{3}-3\sqrt{2}\sqrt{6}-18\sqrt{2}}{-30}$$

将 2 与 3 相乘，得到 6。

$$\frac{6\sqrt{2}+12\sqrt{3}-3\sqrt{2}\sqrt{6}-18\sqrt{2}}{-30}$$

因式分解 6=2\times 3。 将乘积 \sqrt{2\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2}\sqrt{3} 的乘积。

$$\frac{6\sqrt{2}+12\sqrt{3}-3\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}-18\sqrt{2}}{-30}$$

将 \sqrt{2} 与 \sqrt{2} 相乘，得到 2。

$$\frac{6\sqrt{2}+12\sqrt{3}-3\times 2\sqrt{3}-18\sqrt{2}}{-30}$$

将 -3 与 2 相乘，得到 -6。

$$\frac{6\sqrt{2}+12\sqrt{3}-6\sqrt{3}-18\sqrt{2}}{-30}$$

合并 12\sqrt{3} 和 -6\sqrt{3}，得到 6\sqrt{3}。

$$\frac{6\sqrt{2}+6\sqrt{3}-18\sqrt{2}}{-30}$$

合并 6\sqrt{2} 和 -18\sqrt{2}，得到 -12\sqrt{2}。

$$\frac{-12\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{-30}$$