求解 [1+1/sqrt{2}+1/2][1-1/sqrt{2}+1/2]

$$[ 1 + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ] [ 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ]$$

求值

$$\frac{7}{4}=1.75$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}，使 \frac{1}{\sqrt{2}} 的分母有理化

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

将 1 转换为分数 \frac{2}{2}。

$$\left(\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

由于 \frac{2}{2} 和 \frac{1}{2} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\left(\frac{2+1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

2 与 1 相加，得到 3。

$$\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

由于 \frac{3}{2} 和 \frac{\sqrt{2}}{2} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}，使 \frac{1}{\sqrt{2}} 的分母有理化

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

将 1 转换为分数 \frac{2}{2}。

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

由于 \frac{2}{2} 和 \frac{1}{2} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2+1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

2 与 1 相加，得到 3。

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

由于 \frac{3}{2} 和 \frac{\sqrt{2}}{2} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\times \frac{3+\sqrt{2}}{2}$$

将 \frac{3+\sqrt{2}}{2} 与 \frac{3+\sqrt{2}}{2} 相乘，得到 \left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}。

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$

若要对 \frac{3+\sqrt{2}}{2} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(3+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{9+6\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{9+6\sqrt{2}+2}{2^{2}}$$

9 与 2 相加，得到 11。

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{2^{2}}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{4}$$

因式分解

$$\frac{7}{2 ^ {2}} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$