{l}{x=5y+5}{6x-4y=7} Denklemini Çözme

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y için çözün

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 5y sayısını çıkarın.

$$x-5y=5$$

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$x-5y=5$$

Denklemin her iki tarafına 5y ekleyin.

$$x=5y+5$$

Diğer 6x-4y=7 denkleminde, x yerine 5+5y koyun.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

6 ile 5+5y sayısını çarpın.

$$30y+30-4y=7$$

-4y ile 30y sayısını toplayın.

$$26y+30=7$$

Denklemin her iki tarafından 30 çıkarın.

$$26y=-23$$

Her iki tarafı 26 ile bölün.

$$y=-\frac{23}{26}$$

x=5y+5 içinde y yerine -\frac{23}{26} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

5 ile -\frac{23}{26} sayısını çarpın.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

-\frac{115}{26} ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 5y sayısını çıkarın.

$$x-5y=5$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 5y sayısını çıkarın.

$$x-5y=5$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

x ve 6x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 6 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 1 ile çarpın.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Sadeleştirin.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 6x-4y=7 denklemini 6x-30y=30 denkleminden çıkarın.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

-6x ile 6x sayısını toplayın. 6x ve -6x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$-30y+4y=30-7$$

4y ile -30y sayısını toplayın.

$$-26y=30-7$$

-7 ile 30 sayısını toplayın.

$$-26y=23$$

Her iki tarafı -26 ile bölün.

$$y=-\frac{23}{26}$$

6x-4y=7 içinde y yerine -\frac{23}{26} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

-4 ile -\frac{23}{26} sayısını çarpın.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Denklemin her iki tarafından \frac{46}{13} çıkarın.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$