y^2+30y-400=0 Denklemini Çözme

$$y ^ { 2 } + 30 y - 400 = 0$$

y için çözün

$$y=-40$$

$$y=10$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için y^{2}+30y-400 formül y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=30 ab=-400$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -400 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,400 -2,200 -4,100 -5,80 -8,50 -10,40 -16,25 -20,20$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+400=399 -2+200=198 -4+100=96 -5+80=75 -8+50=42 -10+40=30 -16+25=9 -20+20=0$$

Çözüm, 30 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=40$$

Alınan değerleri kullanarak \left(y+a\right)\left(y+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(y-10\right)\left(y+40\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için y-10=0 ve y+40=0 çözün.

$$y=10 y=-40$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın y^{2}+ay+by-400 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=30 ab=1\left(-400\right)=-400$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -400 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,400 -2,200 -4,100 -5,80 -8,50 -10,40 -16,25 -20,20$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+400=399 -2+200=198 -4+100=96 -5+80=75 -8+50=42 -10+40=30 -16+25=9 -20+20=0$$

Çözüm, 30 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=40$$

y^{2}+30y-400 ifadesini \left(y^{2}-10y\right)+\left(40y-400\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(y^{2}-10y\right)+\left(40y-400\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 40 y çarpanlarına ayırın.

$$y\left(y-10\right)+40\left(y-10\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak y-10 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(y-10\right)\left(y+40\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için y-10=0 ve y+40=0 çözün.

$$y=10 y=-40$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$y^{2}+30y-400=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine 30 ve c yerine -400 değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-400\right)}}{2}$$

30 sayısının karesi.

$$y=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-400\right)}}{2}$$

-4 ile -400 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2}$$

1600 ile 900 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2}$$

2500 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-30±50}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{-30±50}{2} denklemini çözün. 50 ile -30 sayısını toplayın.

$$y=\frac{20}{2}$$

20 sayısını 2 ile bölün.

$$y=10$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{-30±50}{2} denklemini çözün. 50 sayısını -30 sayısından çıkarın.

$$y=-\frac{80}{2}$$

-80 sayısını 2 ile bölün.

$$y=-40$$

Denklem çözüldü.

$$y=10 y=-40$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$y^{2}+30y-400=0$$

Denklemin her iki tarafına 400 ekleyin.

$$y^{2}+30y-400-\left(-400\right)=-\left(-400\right)$$

-400 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$y^{2}+30y=-\left(-400\right)$$

-400 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$y^{2}+30y=400$$

x teriminin katsayısı olan 30 sayısını 2 değerine bölerek 15 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 15 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}+30y+15^{2}=400+15^{2}$$

15 sayısının karesi.

$$y^{2}+30y+225=400+225$$

225 ile 400 sayısını toplayın.

$$y^{2}+30y+225=625$$

Faktör y^{2}+30y+225. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+15\right)^{2}=625$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y+15\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Sadeleştirin.

$$y+15=25 y+15=-25$$

Denklemin her iki tarafından 15 çıkarın.

$$y=10 y=-40$$