y=2x-1text{and}2x+y=3 Denklemini Çözme

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

y, x için çözün

$$x=1$$

$$y=1$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 2x sayısını çıkarın.

$$y-2x=-1$$

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Denklemlerden birini seçip y terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi y için çözün.

$$y-2x=-1$$

Denklemin her iki tarafına 2x ekleyin.

$$y=2x-1$$

Diğer y+2x=3 denkleminde, y yerine 2x-1 koyun.

$$2x-1+2x=3$$

2x ile 2x sayısını toplayın.

$$4x-1=3$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$4x=4$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x=1$$

y=2x-1 içinde x yerine 1 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan y için çözebilirsiniz.

$$y=2-1$$

2 ile -1 sayısını toplayın.

$$y=1$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$y=1,x=1$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 2x sayısını çıkarın.

$$y-2x=-1$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

y ve x matris öğelerini çıkartın.

$$y=1,x=1$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 2x sayısını çıkarın.

$$y-2x=-1$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak y+2x=3 denklemini y-2x=-1 denkleminden çıkarın.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

-y ile y sayısını toplayın. y ve -y terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$-2x-2x=-1-3$$

-2x ile -2x sayısını toplayın.

$$-4x=-1-3$$

-3 ile -1 sayısını toplayın.

$$-4x=-4$$

Her iki tarafı -4 ile bölün.

$$x=1$$

y+2x=3 içinde x yerine 1 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan y için çözebilirsiniz.

$$y+2=3$$

Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.

$$y=1$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$y=1,x=1$$