y=2x+1text{and}x+y=7 Denklemini Çözme

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

y, x için çözün

$$x=2$$

$$y=5$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 2x sayısını çıkarın.

$$y-2x=1$$

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Denklemlerden birini seçip y terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi y için çözün.

$$y-2x=1$$

Denklemin her iki tarafına 2x ekleyin.

$$y=2x+1$$

Diğer y+x=7 denkleminde, y yerine 2x+1 koyun.

$$2x+1+x=7$$

x ile 2x sayısını toplayın.

$$3x+1=7$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$3x=6$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$x=2$$

y=2x+1 içinde x yerine 2 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan y için çözebilirsiniz.

$$y=2\times 2+1$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$y=4+1$$

4 ile 1 sayısını toplayın.

$$y=5$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$y=5,x=2$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 2x sayısını çıkarın.

$$y-2x=1$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

y ve x matris öğelerini çıkartın.

$$y=5,x=2$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 2x sayısını çıkarın.

$$y-2x=1$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak y+x=7 denklemini y-2x=1 denkleminden çıkarın.

$$y-y-2x-x=1-7$$

-y ile y sayısını toplayın. y ve -y terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$-2x-x=1-7$$

-x ile -2x sayısını toplayın.

$$-3x=1-7$$

-7 ile 1 sayısını toplayın.

$$-3x=-6$$

Her iki tarafı -3 ile bölün.

$$x=2$$

y+x=7 içinde x yerine 2 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan y için çözebilirsiniz.

$$y+2=7$$

Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.

$$y=5$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$y=5,x=2$$