x^2-x=42 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } - x = 42$$

x için çözün

$$x=-6$$

$$x=7$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 42 sayısını çıkarın.

$$x^{2}-x-42=0$$

Denklemi çözmek için x^{2}-x-42 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=-42$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -42 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-7 b=6$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-7=0 ve x+6=0 çözün.

$$x=7 x=-6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 42 sayısını çıkarın.

$$x^{2}-x-42=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-42 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -42 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-7 b=6$$

x^{2}-x-42 ifadesini \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 6 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-7=0 ve x+6=0 çözün.

$$x=7 x=-6$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-x=42$$

Denklemin her iki tarafından 42 çıkarın.

$$x^{2}-x-42=42-42$$

42 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-x-42=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -1 ve c yerine -42 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

-4 ile -42 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2}$$

168 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$x=\frac{1±13}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{1±13}{2} denklemini çözün. 13 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{14}{2}$$

14 sayısını 2 ile bölün.

$$x=7$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{1±13}{2} denklemini çözün. 13 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{2}$$

-12 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-6$$

Denklem çözüldü.

$$x=7 x=-6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-x=42$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 42 sayısını toplayın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktör x^{2}-x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$x=7 x=-6$$