x^2-7x+10=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } - 7 x + 10 = 0$$

x için çözün

$$x=2$$

$$x=5$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) formülünü kullanarak x^{2}-7x+10 ifadesini çarpanlarına ayırın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=10$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-10 -2,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=-2$$

Alınan değerleri kullanarak çarpanlarına ayrılmış \left(x+a\right)\left(x+b\right) ifadesini yeniden yazın.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-5=0 ve x-2=0 çözün.

$$x=5 x=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-10 -2,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=-2$$

x^{2}-7x+10 ifadesini \left(x^{2}-5x\right)+\left(-2x+10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu -2 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-5=0 ve x-2=0 çözün.

$$x=5 x=2$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-7x+10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 1, b yerine -7 ve c yerine 10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10}}{2}$$

-7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10}}{2}$$

-4 ile 10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2}$$

-40 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3}{2}$$

-7 sayısının tersi: 7.

$$x=\frac{7±3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{7±3}{2} denklemini çözün. 3 ile 7 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{2}$$

10 sayısını 2 ile bölün.

$$x=5$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{7±3}{2} denklemini çözün. 3 sayısını 7 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{4}{2}$$

4 sayısını 2 ile bölün.

$$x=2$$

Denklem çözüldü.

$$x=5 x=2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-7x+10=0$$

Denklemin her iki tarafından 10 çıkarın.

$$x^{2}-7x+10-10=-10$$

10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-7x=-10$$

x teriminin katsayısı olan -7 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

-\frac{7}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

\frac{49}{4} ile -10 sayısını toplayın.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

x^{2}-7x+\frac{49}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{2} ekleyin.

$$x=5 x=2$$