x^2-3x-180=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } - 3 x - 180 = 0$$

x için çözün

$$x=-12$$

$$x=15$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) formülünü kullanarak x^{2}-3x-180 ifadesini çarpanlarına ayırın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=-180$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -180 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Çözüm, -3 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=12$$

Alınan değerleri kullanarak çarpanlarına ayrılmış \left(x+a\right)\left(x+b\right) ifadesini yeniden yazın.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-15=0 ve x+12=0 çözün.

$$x=15 x=-12$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-180 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -180 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Çözüm, -3 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=12$$

x^{2}-3x-180 ifadesini \left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu 12 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(x-15\right)+12\left(x-15\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-15 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-15=0 ve x+12=0 çözün.

$$x=15 x=-12$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 1, b yerine -3 ve c yerine -180 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

-3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

-4 ile -180 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

720 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

729 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

-3 sayısının tersi: 3.

$$x=\frac{3±27}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{3±27}{2} denklemini çözün. 27 ile 3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{30}{2}$$

30 sayısını 2 ile bölün.

$$x=15$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{3±27}{2} denklemini çözün. 27 sayısını 3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{24}{2}$$

-24 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-12$$

Denklem çözüldü.

$$x=15 x=-12$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Denklemin her iki tarafına 180 ekleyin.

$$x^{2}-3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

-180 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-3x=-\left(-180\right)$$

-180 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$x^{2}-3x=180$$

x teriminin katsayısı olan -3 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4} ile 180 sayısını toplayın.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

x^{2}-3x+\frac{9}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} ekleyin.

$$x=15 x=-12$$