x^2-2x-5<0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

x için çöz

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Eşitsizliği çözmek için sol tarafı çarpanlarına ayırın. İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$x^{2}-2x-5=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 1, b için -2 ve c için -5 kullanın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

± artı ve ± eksi olduğunda x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} denklemini çözün.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Elde edilen çözümleri kullanarak eşitsizliği yeniden yazın.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Çarpımın negatif olması için x-\left(\sqrt{6}+1\right) ve x-\left(1-\sqrt{6}\right) değerlerinin ters işaretli olması gerekir. x-\left(\sqrt{6}+1\right) değerinin pozitif ve x-\left(1-\sqrt{6}\right) değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Bu, her x için yanlıştır.

$$x\in \emptyset$$

x-\left(1-\sqrt{6}\right) değerinin pozitif ve x-\left(\sqrt{6}+1\right) değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Her iki eşitsizliği de karşılayan çözüm: x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Son çözüm, elde edilen çözümlerin birleşimidir.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$