x^2-2x-1leq0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

x için çöz

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Eşitsizliği çözmek için sol tarafı çarpanlarına ayırın. İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$x^{2}-2x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 1, b için -2 ve c için -1 kullanın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

± artı ve ± eksi olduğunda x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} denklemini çözün.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Elde edilen çözümleri kullanarak eşitsizliği yeniden yazın.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

Çarpımın ≤0 olması için x-\left(\sqrt{2}+1\right) ve x-\left(1-\sqrt{2}\right) değerlerinden birinin ≥0 ve diğerinin ≤0 olması gerekir. x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 ve x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0 olduğu durumu düşünün.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Bu, her x için yanlıştır.

$$x\in \emptyset$$

x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 ve x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 olduğu durumu düşünün.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Her iki eşitsizliği de karşılayan çözüm: x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Son çözüm, elde edilen çözümlerin birleşimidir.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$