x^2-18x=-65 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } - 18 x = - 65$$

x için çözün

$$x=5$$

$$x=13$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafa 65 ekleyin.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Denklemi çözmek için x^{2}-18x+65 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-18 ab=65$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 65 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-65 -5,-13$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Çözüm, -18 toplamını veren çifttir.

$$a=-13 b=-5$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-13=0 ve x-5=0 çözün.

$$x=13 x=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafa 65 ekleyin.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+65 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-18 ab=1\times 65=65$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 65 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-65 -5,-13$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Çözüm, -18 toplamını veren çifttir.

$$a=-13 b=-5$$

x^{2}-18x+65 ifadesini \left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -5 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-13\right)-5\left(x-13\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-13 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-13=0 ve x-5=0 çözün.

$$x=13 x=5$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-18x=-65$$

Denklemin her iki tarafına 65 ekleyin.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=-65-\left(-65\right)$$

-65 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=0$$

-65 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -18 ve c yerine 65 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

-18 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

-4 ile 65 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-260}}{2}$$

-260 ile 324 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{64}}{2}$$

64 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±8}{2}$$

-18 sayısının tersi: 18.

$$x=\frac{18±8}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{18±8}{2} denklemini çözün. 8 ile 18 sayısını toplayın.

$$x=\frac{26}{2}$$

26 sayısını 2 ile bölün.

$$x=13$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{18±8}{2} denklemini çözün. 8 sayısını 18 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{10}{2}$$

10 sayısını 2 ile bölün.

$$x=5$$

Denklem çözüldü.

$$x=13 x=5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-18x=-65$$

x teriminin katsayısı olan -18 sayısını 2 değerine bölerek -9 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -9 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-65+\left(-9\right)^{2}$$

-9 sayısının karesi.

$$x^{2}-18x+81=-65+81$$

81 ile -65 sayısını toplayın.

$$x^{2}-18x+81=16$$

Faktör x^{2}-18x+81. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=16$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sadeleştirin.

$$x-9=4 x-9=-4$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$x=13 x=5$$