x^2-13x+42=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

x için çözün

$$x=6$$

$$x=7$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) formülünü kullanarak x^{2}-13x+42 ifadesini çarpanlarına ayırın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-13 ab=42$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 42 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Çözüm, -13 toplamını veren çifttir.

$$a=-7 b=-6$$

Alınan değerleri kullanarak çarpanlarına ayrılmış \left(x+a\right)\left(x+b\right) ifadesini yeniden yazın.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-7=0 ve x-6=0 çözün.

$$x=7 x=6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+42 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 42 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Çözüm, -13 toplamını veren çifttir.

$$a=-7 b=-6$$

x^{2}-13x+42 ifadesini \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu -6 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-7=0 ve x-6=0 çözün.

$$x=7 x=6$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 1, b yerine -13 ve c yerine 42 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

-13 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

-4 ile 42 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

-168 ile 169 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

1 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

-13 sayısının tersi: 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{13±1}{2} denklemini çözün. 1 ile 13 sayısını toplayın.

$$x=\frac{14}{2}$$

14 sayısını 2 ile bölün.

$$x=7$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{13±1}{2} denklemini çözün. 1 sayısını 13 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{12}{2}$$

12 sayısını 2 ile bölün.

$$x=6$$

Denklem çözüldü.

$$x=7 x=6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Denklemin her iki tarafından 42 çıkarın.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

42 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-13x=-42$$

x teriminin katsayısı olan -13 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{13}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{13}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

-\frac{13}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

\frac{169}{4} ile -42 sayısını toplayın.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

x^{2}-13x+\frac{169}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{13}{2} ekleyin.

$$x=7 x=6$$