x^2-13x+30=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } - 13 x + 30 = 0$$

x için çözün

$$x=3$$

$$x=10$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}-13x+30 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-13 ab=30$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Çözüm, -13 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=-3$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x-10\right)\left(x-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-10=0 ve x-3=0 çözün.

$$x=10 x=3$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+30 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-13 ab=1\times 30=30$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Çözüm, -13 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=-3$$

x^{2}-13x+30 ifadesini \left(x^{2}-10x\right)+\left(-3x+30\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -3 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-10 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-10\right)\left(x-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-10=0 ve x-3=0 çözün.

$$x=10 x=3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-13x+30=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -13 ve c yerine 30 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

-13 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 30}}{2}$$

-4 ile 30 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-120}}{2}$$

-120 ile 169 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{49}}{2}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±7}{2}$$

-13 sayısının tersi: 13.

$$x=\frac{13±7}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{13±7}{2} denklemini çözün. 7 ile 13 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{2}$$

20 sayısını 2 ile bölün.

$$x=10$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{13±7}{2} denklemini çözün. 7 sayısını 13 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{6}{2}$$

6 sayısını 2 ile bölün.

$$x=3$$

Denklem çözüldü.

$$x=10 x=3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-13x+30=0$$

Denklemin her iki tarafından 30 çıkarın.

$$x^{2}-13x+30-30=-30$$

30 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-13x=-30$$

x teriminin katsayısı olan -13 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{13}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{13}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

-\frac{13}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

\frac{169}{4} ile -30 sayısını toplayın.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktör x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{13}{2} ekleyin.

$$x=10 x=3$$