x^2=2sqrt{1-x^2} Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } = 2 \sqrt { 1 - x ^ { 2 } }$$

x için çözün

$$x=\sqrt{2\sqrt{2}-2}\approx 0,910179721$$

$$x=-\sqrt{2\sqrt{2}-2}\approx -0,910179721$$

Çözüm Adımları

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(x^{2}\right)^{2}=\left(2\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

Bir sayının üssünün başka bir sayıya üssünü almak için üsleri çarpın. 2 ile 2 çarpıldığında 4 elde edilir.

$$x^{4}=\left(2\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(2\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2} üssünü genişlet.

$$x^{4}=2^{2}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının 2 kuvvetini hesaplayarak 4 sonucunu bulun.

$$x^{4}=4\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{1-x^{2}} kuvvetini hesaplayarak 1-x^{2} sonucunu bulun.

$$x^{4}=4\left(1-x^{2}\right)$$

4 sayısını 1-x^{2} ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x^{4}=4-4x^{2}$$

Her iki taraftan 4 sayısını çıkarın.

$$x^{4}-4=-4x^{2}$$

Her iki tarafa 4x^{2} ekleyin.

$$x^{4}-4+4x^{2}=0$$

x^{2} değerini t ile değiştirin.

$$t^{2}+4t-4=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 1, b için 4 ve c için -4 kullanın.

$$t=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$t=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2}$$

± artı ve ± eksi olduğunda t=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2} denklemini çözün.

$$t=2\sqrt{2}-2 t=-2\sqrt{2}-2$$

x=t^{2} bu yana, çözümler pozitif t için x=±\sqrt{t} değerlendirilerek elde edilir.

$$x=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}$$

x^{2}=2\sqrt{1-x^{2}} denkleminde x yerine \frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} ifadesini koyun.

$$\left(\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}=2\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}}$$

Sadeleştirin. x=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} değeri denklemi karşılıyor.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-2=2\times 2^{\frac{1}{2}}-2$$

x^{2}=2\sqrt{1-x^{2}} denkleminde x yerine -\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} ifadesini koyun.

$$\left(-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}=2\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}}$$

Sadeleştirin. x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} değeri denklemi karşılıyor.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-2=2\times 2^{\frac{1}{2}}-2$$

Tüm x^{2}=2\sqrt{1-x^{2}} çözümlerini listeleyin.

$$x=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}$$