x^2+x-42=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

x için çözün

$$x=-7$$

$$x=6$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+x-42 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=-42$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -42 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=7$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-6=0 ve x+7=0 çözün.

$$x=6 x=-7$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-42 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -42 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=7$$

x^{2}+x-42 ifadesini \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-6 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-6=0 ve x+7=0 çözün.

$$x=6 x=-7$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}+x-42=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine 1 ve c yerine -42 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

-4 ile -42 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

168 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±13}{2} denklemini çözün. 13 ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{2}$$

12 sayısını 2 ile bölün.

$$x=6$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±13}{2} denklemini çözün. 13 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{14}{2}$$

-14 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-7$$

Denklem çözüldü.

$$x=6 x=-7$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}+x-42=0$$

Denklemin her iki tarafına 42 ekleyin.

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

-42 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

-42 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$x^{2}+x=42$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 42 sayısını toplayın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktör x^{2}+x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$x=6 x=-7$$