x^2+x=20 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } + x = 20$$

x için çözün

$$x=-5$$

$$x=4$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 20 sayısını çıkarın.

$$x^{2}+x-20=0$$

Denklemi çözmek için x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) formülünü kullanarak x^{2}+x-20 ifadesini çarpanlarına ayırın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=5$$

Alınan değerleri kullanarak çarpanlarına ayrılmış \left(x+a\right)\left(x+b\right) ifadesini yeniden yazın.

$$\left(x-4\right)\left(x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-4=0 ve x+5=0 çözün.

$$x=4 x=-5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 20 sayısını çıkarın.

$$x^{2}+x-20=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-20 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=5$$

x^{2}+x-20 ifadesini \left(x^{2}-4x\right)+\left(5x-20\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(5x-20\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu 5 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-4\right)\left(x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-4=0 ve x+5=0 çözün.

$$x=4 x=-5$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}+x=20$$

Denklemin her iki tarafından 20 çıkarın.

$$x^{2}+x-20=20-20$$

20 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}+x-20=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 1, b yerine 1 ve c yerine -20 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-20\right)}}{2}$$

-4 ile -20 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2}$$

80 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2}$$

81 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-1±9}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±9}{2} denklemini çözün. 9 ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{2}$$

8 sayısını 2 ile bölün.

$$x=4$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±9}{2} denklemini çözün. 9 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{2}$$

-10 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-5$$

Denklem çözüldü.

$$x=4 x=-5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}+x=20$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 20 sayısını toplayın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

x^{2}+x+\frac{1}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$x=4 x=-5$$