x^2+5x-24=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } + 5 x - 24 = 0$$

x için çözün

$$x=-8$$

$$x=3$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) formülünü kullanarak x^{2}+5x-24 ifadesini çarpanlarına ayırın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=-24$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -24 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=8$$

Alınan değerleri kullanarak çarpanlarına ayrılmış \left(x+a\right)\left(x+b\right) ifadesini yeniden yazın.

$$\left(x-3\right)\left(x+8\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-3=0 ve x+8=0 çözün.

$$x=3 x=-8$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-24 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -24 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=8$$

x^{2}+5x-24 ifadesini \left(x^{2}-3x\right)+\left(8x-24\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(8x-24\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu 8 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-3\right)\left(x+8\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-3=0 ve x+8=0 çözün.

$$x=3 x=-8$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}+5x-24=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 1, b yerine 5 ve c yerine -24 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

-4 ile -24 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2}$$

96 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-5±11}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±11}{2} denklemini çözün. 11 ile -5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{2}$$

6 sayısını 2 ile bölün.

$$x=3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±11}{2} denklemini çözün. 11 sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{16}{2}$$

-16 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-8$$

Denklem çözüldü.

$$x=3 x=-8$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}+5x-24=0$$

Denklemin her iki tarafına 24 ekleyin.

$$x^{2}+5x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

-24 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}+5x=-\left(-24\right)$$

-24 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$x^{2}+5x=24$$

x teriminin katsayısı olan 5 sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

\frac{5}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

\frac{25}{4} ile 24 sayısını toplayın.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

x^{2}+5x+\frac{25}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{2} çıkarın.

$$x=3 x=-8$$