x^2+13x-30=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } + 13 x - 30 = 0$$

x için çözün

$$x=-15$$

$$x=2$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+13x-30 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=13 ab=-30$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Çözüm, 13 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=15$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve x+15=0 çözün.

$$x=2 x=-15$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-30 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=13 ab=1\left(-30\right)=-30$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Çözüm, 13 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=15$$

x^{2}+13x-30 ifadesini \left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 15 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-2\right)+15\left(x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve x+15=0 çözün.

$$x=2 x=-15$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine 13 ve c yerine -30 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

13 sayısının karesi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-30\right)}}{2}$$

-4 ile -30 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+120}}{2}$$

120 ile 169 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{289}}{2}$$

289 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-13±17}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±17}{2} denklemini çözün. 17 ile -13 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4}{2}$$

4 sayısını 2 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±17}{2} denklemini çözün. 17 sayısını -13 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-15$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=-15$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Denklemin her iki tarafına 30 ekleyin.

$$x^{2}+13x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

-30 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}+13x=-\left(-30\right)$$

-30 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$x^{2}+13x=30$$

x teriminin katsayısı olan 13 sayısını 2 değerine bölerek \frac{13}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{13}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

\frac{13}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=30+\frac{169}{4}$$

\frac{169}{4} ile 30 sayısını toplayın.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{289}{4}$$

Faktör x^{2}+13x+\frac{169}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{17}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{13}{2} çıkarın.

$$x=2 x=-15$$