x^2+100x-7500=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } + 100 x - 7500 = 0$$

x için çözün

$$x=-150$$

$$x=50$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+100x-7500 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=100 ab=-7500$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -7500 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,7500 -2,3750 -3,2500 -4,1875 -5,1500 -6,1250 -10,750 -12,625 -15,500 -20,375 -25,300 -30,250 -50,150 -60,125 -75,100$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+7500=7499 -2+3750=3748 -3+2500=2497 -4+1875=1871 -5+1500=1495 -6+1250=1244 -10+750=740 -12+625=613 -15+500=485 -20+375=355 -25+300=275 -30+250=220 -50+150=100 -60+125=65 -75+100=25$$

Çözüm, 100 toplamını veren çifttir.

$$a=-50 b=150$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x-50\right)\left(x+150\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-50=0 ve x+150=0 çözün.

$$x=50 x=-150$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-7500 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=100 ab=1\left(-7500\right)=-7500$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -7500 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,7500 -2,3750 -3,2500 -4,1875 -5,1500 -6,1250 -10,750 -12,625 -15,500 -20,375 -25,300 -30,250 -50,150 -60,125 -75,100$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+7500=7499 -2+3750=3748 -3+2500=2497 -4+1875=1871 -5+1500=1495 -6+1250=1244 -10+750=740 -12+625=613 -15+500=485 -20+375=355 -25+300=275 -30+250=220 -50+150=100 -60+125=65 -75+100=25$$

Çözüm, 100 toplamını veren çifttir.

$$a=-50 b=150$$

x^{2}+100x-7500 ifadesini \left(x^{2}-50x\right)+\left(150x-7500\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(150x-7500\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 150 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-50\right)+150\left(x-50\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-50 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-50\right)\left(x+150\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-50=0 ve x+150=0 çözün.

$$x=50 x=-150$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}+100x-7500=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine 100 ve c yerine -7500 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-7500\right)}}{2}$$

100 sayısının karesi.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-7500\right)}}{2}$$

-4 ile -7500 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+30000}}{2}$$

30000 ile 10000 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-100±\sqrt{40000}}{2}$$

40000 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-100±200}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-100±200}{2} denklemini çözün. 200 ile -100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{100}{2}$$

100 sayısını 2 ile bölün.

$$x=50$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-100±200}{2} denklemini çözün. 200 sayısını -100 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{300}{2}$$

-300 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-150$$

Denklem çözüldü.

$$x=50 x=-150$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}+100x-7500=0$$

Denklemin her iki tarafına 7500 ekleyin.

$$x^{2}+100x-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

-7500 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}+100x=-\left(-7500\right)$$

-7500 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$x^{2}+100x=7500$$

x teriminin katsayısı olan 100 sayısını 2 değerine bölerek 50 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 50 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+100x+50^{2}=7500+50^{2}$$

50 sayısının karesi.

$$x^{2}+100x+2500=7500+2500$$

2500 ile 7500 sayısını toplayın.

$$x^{2}+100x+2500=10000$$

Faktör x^{2}+100x+2500. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+50\right)^{2}=10000$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+50\right)^{2}}=\sqrt{10000}$$

Sadeleştirin.

$$x+50=100 x+50=-100$$

Denklemin her iki tarafından 50 çıkarın.

$$x=50 x=-150$$