x^2+10x-3000=0 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } + 10 x - 3000 = 0$$

x için çözün

$$x=-60$$

$$x=50$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+10x-3000 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=10 ab=-3000$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -3000 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

Çözüm, 10 toplamını veren çifttir.

$$a=-50 b=60$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-50=0 ve x+60=0 çözün.

$$x=50 x=-60$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-3000 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=10 ab=1\left(-3000\right)=-3000$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -3000 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

Çözüm, 10 toplamını veren çifttir.

$$a=-50 b=60$$

x^{2}+10x-3000 ifadesini \left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 60 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-50\right)+60\left(x-50\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-50 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-50=0 ve x+60=0 çözün.

$$x=50 x=-60$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine 10 ve c yerine -3000 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3000\right)}}{2}$$

10 sayısının karesi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3000\right)}}{2}$$

-4 ile -3000 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12000}}{2}$$

12000 ile 100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{12100}}{2}$$

12100 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-10±110}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±110}{2} denklemini çözün. 110 ile -10 sayısını toplayın.

$$x=\frac{100}{2}$$

100 sayısını 2 ile bölün.

$$x=50$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±110}{2} denklemini çözün. 110 sayısını -10 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{120}{2}$$

-120 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-60$$

Denklem çözüldü.

$$x=50 x=-60$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Denklemin her iki tarafına 3000 ekleyin.

$$x^{2}+10x-3000-\left(-3000\right)=-\left(-3000\right)$$

-3000 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}+10x=-\left(-3000\right)$$

-3000 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$x^{2}+10x=3000$$

x teriminin katsayısı olan 10 sayısını 2 değerine bölerek 5 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 5 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+10x+5^{2}=3000+5^{2}$$

5 sayısının karesi.

$$x^{2}+10x+25=3000+25$$

25 ile 3000 sayısını toplayın.

$$x^{2}+10x+25=3025$$

Faktör x^{2}+10x+25. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=3025$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{3025}$$

Sadeleştirin.

$$x+5=55 x+5=-55$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$x=50 x=-60$$