x^2+(x-2)^2=100 Denklemini Çözme

$$x ^ { 2 } + ( x - 2 ) ^ { 2 } = 100$$

x için çözün

$$x=-6$$

$$x=8$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(x-2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 2x^{2} sonucunu elde edin.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Her iki taraftan 100 sayısını çıkarın.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

4 sayısından 100 sayısını çıkarıp -96 sonucunu bulun.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$x^{2}-2x-48=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-48 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -48 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Çözüm, -2 toplamını veren çifttir.

$$a=-8 b=6$$

x^{2}-2x-48 ifadesini \left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 6 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-8\right)+6\left(x-8\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-8 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-8\right)\left(x+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-8=0 ve x+6=0 çözün.

$$x=8 x=-6$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(x-2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 2x^{2} sonucunu elde edin.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Her iki taraftan 100 sayısını çıkarın.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

4 sayısından 100 sayısını çıkarıp -96 sonucunu bulun.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -4 ve c yerine -96 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

-4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

-8 ile -96 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+768}}{2\times 2}$$

768 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

784 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±28}{2\times 2}$$

-4 sayısının tersi: 4.

$$x=\frac{4±28}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{4±28}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{4±28}{4} denklemini çözün. 28 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 sayısını 4 ile bölün.

$$x=8$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{4±28}{4} denklemini çözün. 28 sayısını 4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{24}{4}$$

-24 sayısını 4 ile bölün.

$$x=-6$$

Denklem çözüldü.

$$x=8 x=-6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(x-2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 2x^{2} sonucunu elde edin.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Her iki taraftan 4 sayısını çıkarın.

$$2x^{2}-4x=100-4$$

100 sayısından 4 sayısını çıkarıp 96 sonucunu bulun.

$$2x^{2}-4x=96$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{96}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{96}{2}$$

-4 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-2x=\frac{96}{2}$$

96 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-2x=48$$

x teriminin katsayısı olan -2 sayısını 2 değerine bölerek -1 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -1 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-2x+1=48+1$$

1 ile 48 sayısını toplayın.

$$x^{2}-2x+1=49$$

Faktör x^{2}-2x+1. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=49$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Sadeleştirin.

$$x-1=7 x-1=-7$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$x=8 x=-6$$