x:y=15:13text{e}x-y=8 Denklemini Çözme

$$x : y = 15 : 13 \text { e } x - y = 8$$

x, y için çözün

$$x=60$$

$$y=52$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından y değişkeni, 0 değerine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını y,13 sayılarının en küçük ortak katı olan 13y ile çarpın.

$$13x=15y$$

Her iki tarafı 13 ile bölün.

$$x=\frac{1}{13}\times 15y$$

\frac{1}{13} ile 15y sayısını çarpın.

$$x=\frac{15}{13}y$$

Diğer x-y=8 denkleminde, x yerine \frac{15y}{13} koyun.

$$\frac{15}{13}y-y=8$$

-y ile \frac{15y}{13} sayısını toplayın.

$$\frac{2}{13}y=8$$

Denklemin her iki tarafını \frac{2}{13} ile bölün. Bu işlem her iki tarafı kesrin tersiyle çarpmayla aynı sonucu verir.

$$y=52$$

x=\frac{15}{13}y içinde y yerine 52 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=\frac{15}{13}\times 52$$

\frac{15}{13} ile 52 sayısını çarpın.

$$x=60$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=60,y=52$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından y değişkeni, 0 değerine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını y,13 sayılarının en küçük ortak katı olan 13y ile çarpın.

$$13x=15y$$

Her iki taraftan 15y sayısını çıkarın.

$$13x-15y=0$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$13x-15y=0,x-y=8$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}&\frac{13}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{15}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{13}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\times 8\\\frac{13}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\52\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=60,y=52$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından y değişkeni, 0 değerine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını y,13 sayılarının en küçük ortak katı olan 13y ile çarpın.

$$13x=15y$$

Her iki taraftan 15y sayısını çıkarın.

$$13x-15y=0$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$13x-15y=0,x-y=8$$

13x ve x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 1 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 13 ile çarpın.

$$13x-15y=0,13x+13\left(-1\right)y=13\times 8$$

Sadeleştirin.

$$13x-15y=0,13x-13y=104$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 13x-13y=104 denklemini 13x-15y=0 denkleminden çıkarın.

$$13x-13x-15y+13y=-104$$

-13x ile 13x sayısını toplayın. 13x ve -13x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$-15y+13y=-104$$

13y ile -15y sayısını toplayın.

$$-2y=-104$$

Her iki tarafı -2 ile bölün.

$$y=52$$

x-y=8 içinde y yerine 52 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x-52=8$$

Denklemin her iki tarafına 52 ekleyin.

$$x=60$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=60,y=52$$