x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2 Denklemini Çözme

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

x için çözün

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemin iki tarafını 2,3 sayılarının en küçük ortak katı olan 6 ile çarpın.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

3 sayısını 3x+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

6x ve 9x terimlerini birleştirerek 15x sonucunu elde edin.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

-2 sayısını x-2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

15x ve -2x terimlerini birleştirerek 13x sonucunu elde edin.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

3 ve 4 sayılarını toplayarak 7 sonucunu bulun.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Her iki taraftan 6x^{2} sayısını çıkarın.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Her iki tarafa 12 ekleyin.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

7 ve 12 sayılarını toplayarak 19 sonucunu bulun.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -6x^{2}+ax+bx+19 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -114 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Çözüm, 13 toplamını veren çifttir.

$$a=19 b=-6$$

-6x^{2}+13x+19 ifadesini \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

İlk grubu -x, ikinci grubu -1 ortak çarpan parantezine alın.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 6x-19 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 6x-19=0 ve -x-1=0 çözün.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

Denklemin iki tarafını 2,3 sayılarının en küçük ortak katı olan 6 ile çarpın.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

3 sayısını 3x+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

6x ve 9x terimlerini birleştirerek 15x sonucunu elde edin.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

-2 sayısını x-2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

15x ve -2x terimlerini birleştirerek 13x sonucunu elde edin.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

3 ve 4 sayılarını toplayarak 7 sonucunu bulun.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Her iki taraftan 6x^{2} sayısını çıkarın.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Her iki tarafa 12 ekleyin.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

7 ve 12 sayılarını toplayarak 19 sonucunu bulun.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine -6, b yerine 13 ve c yerine 19 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

13 sayısının karesi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

-4 ile -6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

24 ile 19 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

456 ile 169 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

625 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

2 ile -6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±25}{-12} denklemini çözün. 25 ile -13 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{-12}$$

12 sayısını -12 ile bölün.

$$x=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±25}{-12} denklemini çözün. 25 sayısını -13 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-38}{-12} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{19}{6}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Denklemin iki tarafını 2,3 sayılarının en küçük ortak katı olan 6 ile çarpın.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

3 sayısını 3x+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

6x ve 9x terimlerini birleştirerek 15x sonucunu elde edin.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

-2 sayısını x-2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

15x ve -2x terimlerini birleştirerek 13x sonucunu elde edin.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

3 ve 4 sayılarını toplayarak 7 sonucunu bulun.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Her iki taraftan 6x^{2} sayısını çıkarın.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Her iki taraftan 7 sayısını çıkarın.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

-12 sayısından 7 sayısını çıkarıp -19 sonucunu bulun.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Her iki tarafı -6 ile bölün.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

-6 ile bölme, -6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

13 sayısını -6 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

-19 sayısını -6 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{13}{6} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{13}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{13}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

-\frac{13}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{19}{6} ile \frac{169}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{13}{12} ekleyin.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$