t^2-24t-180=0 Denklemini Çözme

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

t için çözün

$$t=-6$$

$$t=30$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için t^{2}-24t-180 formül t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-24 ab=-180$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -180 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Çözüm, -24 toplamını veren çifttir.

$$a=-30 b=6$$

Alınan değerleri kullanarak \left(t+a\right)\left(t+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için t-30=0 ve t+6=0 çözün.

$$t=30 t=-6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın t^{2}+at+bt-180 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -180 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Çözüm, -24 toplamını veren çifttir.

$$a=-30 b=6$$

t^{2}-24t-180 ifadesini \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 6 t çarpanlarına ayırın.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak t-30 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için t-30=0 ve t+6=0 çözün.

$$t=30 t=-6$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -24 ve c yerine -180 değerini koyarak çözün.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

-24 sayısının karesi.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

-4 ile -180 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

720 ile 576 sayısını toplayın.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

1296 sayısının karekökünü alın.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

-24 sayısının tersi: 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak t=\frac{24±36}{2} denklemini çözün. 36 ile 24 sayısını toplayın.

$$t=\frac{60}{2}$$

60 sayısını 2 ile bölün.

$$t=30$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak t=\frac{24±36}{2} denklemini çözün. 36 sayısını 24 sayısından çıkarın.

$$t=-\frac{12}{2}$$

-12 sayısını 2 ile bölün.

$$t=-6$$

Denklem çözüldü.

$$t=30 t=-6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Denklemin her iki tarafına 180 ekleyin.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

-180 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

-180 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$t^{2}-24t=180$$

x teriminin katsayısı olan -24 sayısını 2 değerine bölerek -12 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -12 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

-12 sayısının karesi.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

144 ile 180 sayısını toplayın.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Faktör t^{2}-24t+144. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Sadeleştirin.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Denklemin her iki tarafına 12 ekleyin.

$$t=30 t=-6$$