n^2-n-210=0 Denklemini Çözme

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

n için çözün

$$n=-14$$

$$n=15$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için n^{2}-n-210 formül n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=-210$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -210 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=14$$

Alınan değerleri kullanarak \left(n+a\right)\left(n+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için n-15=0 ve n+14=0 çözün.

$$n=15 n=-14$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın n^{2}+an+bn-210 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -210 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=14$$

n^{2}-n-210 ifadesini \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 14 n çarpanlarına ayırın.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak n-15 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için n-15=0 ve n+14=0 çözün.

$$n=15 n=-14$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$n^{2}-n-210=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -1 ve c yerine -210 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

-4 ile -210 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

840 ile 1 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

841 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{1±29}{2} denklemini çözün. 29 ile 1 sayısını toplayın.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 sayısını 2 ile bölün.

$$n=15$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{1±29}{2} denklemini çözün. 29 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{28}{2}$$

-28 sayısını 2 ile bölün.

$$n=-14$$

Denklem çözüldü.

$$n=15 n=-14$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$n^{2}-n-210=0$$

Denklemin her iki tarafına 210 ekleyin.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

-210 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

-210 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$n^{2}-n=210$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 210 sayısını toplayın.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Faktör n^{2}-n+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$n=15 n=-14$$