n^2-n=272 Denklemini Çözme

$$n ^ { 2 } - n = 272$$

n için çözün

$$n=-16$$

$$n=17$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 272 sayısını çıkarın.

$$n^{2}-n-272=0$$

Denklemi çözmek için n^{2}-n-272 formül n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=-272$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -272 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-272 2,-136 4,-68 8,-34 16,-17$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-272=-271 2-136=-134 4-68=-64 8-34=-26 16-17=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-17 b=16$$

Alınan değerleri kullanarak \left(n+a\right)\left(n+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(n-17\right)\left(n+16\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için n-17=0 ve n+16=0 çözün.

$$n=17 n=-16$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 272 sayısını çıkarın.

$$n^{2}-n-272=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın n^{2}+an+bn-272 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=1\left(-272\right)=-272$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -272 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-272 2,-136 4,-68 8,-34 16,-17$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-272=-271 2-136=-134 4-68=-64 8-34=-26 16-17=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-17 b=16$$

n^{2}-n-272 ifadesini \left(n^{2}-17n\right)+\left(16n-272\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(n^{2}-17n\right)+\left(16n-272\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 16 n çarpanlarına ayırın.

$$n\left(n-17\right)+16\left(n-17\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak n-17 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(n-17\right)\left(n+16\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için n-17=0 ve n+16=0 çözün.

$$n=17 n=-16$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$n^{2}-n=272$$

Denklemin her iki tarafından 272 çıkarın.

$$n^{2}-n-272=272-272$$

272 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$n^{2}-n-272=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -1 ve c yerine -272 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-272\right)}}{2}$$

-4 ile -272 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+1088}}{2}$$

1088 ile 1 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1089}}{2}$$

1089 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±33}{2}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$n=\frac{1±33}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{1±33}{2} denklemini çözün. 33 ile 1 sayısını toplayın.

$$n=\frac{34}{2}$$

34 sayısını 2 ile bölün.

$$n=17$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{1±33}{2} denklemini çözün. 33 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{32}{2}$$

-32 sayısını 2 ile bölün.

$$n=-16$$

Denklem çözüldü.

$$n=17 n=-16$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$n^{2}-n=272$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=272+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=272+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 272 sayısını toplayın.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{1089}{4}$$

Faktör n^{2}-n+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1089}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1089}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{33}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{33}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$n=17 n=-16$$