n^2-11n-60=0 Denklemini Çözme

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n için çözün

$$n=-4$$

$$n=15$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için n^{2}-11n-60 formül n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Çözüm, -11 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=4$$

Alınan değerleri kullanarak \left(n+a\right)\left(n+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için n-15=0 ve n+4=0 çözün.

$$n=15 n=-4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın n^{2}+an+bn-60 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Çözüm, -11 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 ifadesini \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 n çarpanlarına ayırın.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak n-15 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için n-15=0 ve n+4=0 çözün.

$$n=15 n=-4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -11 ve c yerine -60 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 sayısının karesi.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 ile -60 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

240 ile 121 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 sayısının tersi: 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{11±19}{2} denklemini çözün. 19 ile 11 sayısını toplayın.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 sayısını 2 ile bölün.

$$n=15$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{11±19}{2} denklemini çözün. 19 sayısını 11 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 sayısını 2 ile bölün.

$$n=-4$$

Denklem çözüldü.

$$n=15 n=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Denklemin her iki tarafına 60 ekleyin.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

-60 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$n^{2}-11n=60$$

x teriminin katsayısı olan -11 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4} ile 60 sayısını toplayın.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktör n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{2} ekleyin.

$$n=15 n=-4$$