9y^2-12y+4=y^2 Denklemini Çözme

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

y için çözün

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan y^{2} sayısını çıkarın.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

9y^{2} ve -y^{2} terimlerini birleştirerek 8y^{2} sonucunu elde edin.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2y^{2}+ay+by+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Bu tür bir çift sistem çözümüdür.

$$a=-2 b=-1$$

2y^{2}-3y+1 ifadesini \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 2y çarpanlarına ayırın.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak y-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için y-1=0 ve 2y-1=0 çözün.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Her iki taraftan y^{2} sayısını çıkarın.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

9y^{2} ve -y^{2} terimlerini birleştirerek 8y^{2} sonucunu elde edin.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 8, b yerine -12 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

-12 sayısının karesi.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

-4 ile 8 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

-32 ile 4 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

-128 ile 144 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

16 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

-12 sayısının tersi: 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

2 ile 8 sayısını çarpın.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{12±4}{16} denklemini çözün. 4 ile 12 sayısını toplayın.

$$y=\frac{16}{16}$$

16 sayısını 16 ile bölün.

$$y=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{12±4}{16} denklemini çözün. 4 sayısını 12 sayısından çıkarın.

$$y=\frac{8}{16}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{16} kesrini sadeleştirin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki taraftan y^{2} sayısını çıkarın.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

9y^{2} ve -y^{2} terimlerini birleştirerek 8y^{2} sonucunu elde edin.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Her iki taraftan 4 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Her iki tarafı 8 ile bölün.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

8 ile bölme, 8 ile çarpma işlemini geri alır.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{8} kesrini sadeleştirin.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{8} kesrini sadeleştirin.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{3}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{2} ile \frac{9}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktör y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{4} ekleyin.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$