9y^2-12y+2=0 Denklemini Çözme

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

y için çözün

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine -12 ve c yerine 2 değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

-12 sayısının karesi.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

-36 ile 2 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

-72 ile 144 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

72 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

-12 sayısının tersi: 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} denklemini çözün. 6\sqrt{2} ile 12 sayısını toplayın.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

12+6\sqrt{2} sayısını 18 ile bölün.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} denklemini çözün. 6\sqrt{2} sayısını 12 sayısından çıkarın.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

12-6\sqrt{2} sayısını 18 ile bölün.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

2 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{9} kesrini sadeleştirin.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{4}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{2}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{2}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{2}{9} ile \frac{4}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktör y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{2}{3} ekleyin.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$