9x^2-48x+68=0 Denklemini Çözme

$$9 x ^ { 2 } - 48 x + 68 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i\approx 2,666666667+0,666666667i$$

$$x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i\approx 2,666666667-0,666666667i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9x^{2}-48x+68=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine -48 ve c yerine 68 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 9\times 68}}{2\times 9}$$

-48 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 9\times 68}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-36\times 68}}{2\times 9}$$

-36 ile 68 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-2448}}{2\times 9}$$

-2448 ile 2304 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{-144}}{2\times 9}$$

-144 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±12i}{2\times 9}$$

-48 sayısının tersi: 48.

$$x=\frac{48±12i}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{48±12i}{18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{48±12i}{18} denklemini çözün. 12i ile 48 sayısını toplayın.

$$x=\frac{48+12i}{18}$$

48+12i sayısını 18 ile bölün.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{48±12i}{18} denklemini çözün. 12i sayısını 48 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{48-12i}{18}$$

48-12i sayısını 18 ile bölün.

$$x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9x^{2}-48x+68=0$$

Denklemin her iki tarafından 68 çıkarın.

$$9x^{2}-48x+68-68=-68$$

68 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9x^{2}-48x=-68$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}-48x}{9}=-\frac{68}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{48}{9}\right)x=-\frac{68}{9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-48}{9} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{68}{9}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{16}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{8}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{8}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{68}{9}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

-\frac{8}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{-68+64}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{68}{9} ile \frac{64}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{4}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{2}{3}i x-\frac{8}{3}=-\frac{2}{3}i$$

Denklemin her iki tarafına \frac{8}{3} ekleyin.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$