9x^2-155x-500=0 Denklemini Çözme

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2,777777778$$

$$x=20$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 9x^{2}+ax+bx-500 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -4500 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Çözüm, -155 toplamını veren çifttir.

$$a=-180 b=25$$

9x^{2}-155x-500 ifadesini \left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 25 9x çarpanlarına ayırın.

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-20 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-20=0 ve 9x+25=0 çözün.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine -155 ve c yerine -500 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

-155 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

-36 ile -500 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

18000 ile 24025 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

42025 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

-155 sayısının tersi: 155.

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{155±205}{18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{155±205}{18} denklemini çözün. 205 ile 155 sayısını toplayın.

$$x=\frac{360}{18}$$

360 sayısını 18 ile bölün.

$$x=20$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{155±205}{18} denklemini çözün. 205 sayısını 155 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{50}{18}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-50}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{25}{9}$$

Denklem çözüldü.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Denklemin her iki tarafına 500 ekleyin.

$$9x^{2}-155x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

-500 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9x^{2}-155x=-\left(-500\right)$$

-500 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$9x^{2}-155x=500$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}-155x}{9}=\frac{500}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x=\frac{500}{9}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{155}{9} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{155}{18} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{155}{18} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{500}{9}+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}$$

-\frac{155}{18} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{500}{9}+\frac{24025}{324}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{500}{9} ile \frac{24025}{324} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{42025}{324}$$

Faktör x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{155}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{155}{18}=-\frac{205}{18}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{155}{18} ekleyin.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$