9x^2+7x+9=25 Denklemini Çözme

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

x için çözün

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 25 sayısını çıkarın.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

9 sayısından 25 sayısını çıkarıp -16 sonucunu bulun.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 9x^{2}+ax+bx-16 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -144 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=-9 b=16$$

9x^{2}+7x-16 ifadesini \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 16 9x çarpanlarına ayırın.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 9x+16=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Denklemin her iki tarafından 25 çıkarın.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

25 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

25 sayısını 9 sayısından çıkarın.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine 7 ve c yerine -16 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-36 ile -16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

576 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

625 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±25}{18} denklemini çözün. 25 ile -7 sayısını toplayın.

$$x=\frac{18}{18}$$

18 sayısını 18 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±25}{18} denklemini çözün. 25 sayısını -7 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{32}{18}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-32}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

9 sayısını 25 sayısından çıkarın.

$$9x^{2}+7x=16$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{7}{9} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{18} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{18} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

\frac{7}{18} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{16}{9} ile \frac{49}{324} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Faktör x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{18} çıkarın.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$